Question

已知函數(shù)f(x)=2sin(2x-

π

3

)-1．試求：
（Ⅰ）函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

6

，

5π

6

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的周期公式，利用題中數(shù)據(jù)即可求出f（x）的最小正周期；
（2）由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解關(guān)于x的不等式-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），得到x的范圍即為f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）當(dāng)

π

6

≤x≤

5π

6

時(shí)0≤2x-

π

3

≤

4π

3

，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，由此即可算出f（x）在區(qū)間[

π

6

，

5π

6

]上的值域．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=2sin(2x-

π

3

)-1中，ω=2
∴f（x）的最小正周期T=

2π

ω

=π；
（2）設(shè)-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），解之得-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ（k∈Z）
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ](k∈Z)；
（3）當(dāng)

π

6

≤x≤

5π

6

時(shí)，得0≤2x-

π

3

≤

4π

3

，
∴-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，可得函數(shù)f（x）的最小值為f（

5π

6

）=-

3

-1，
f（x）的最大值為f（

5π

12

）=1
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[

π

6

，

5π

6

]上的值域?yàn)?span id="6616611" class="MathJye">[-

3

-1，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)表達(dá)式，求函數(shù)的周期、單調(diào)性與閉區(qū)間上的值域．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)的值域求法等知識(shí)，屬于中檔題．