已知函數(shù)，設(shè)曲線在點處的切線與軸的交點為，其中為正實數(shù)．
（1）用表示；
（2）,若，試證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（3）若數(shù)列的前項和，記數(shù)列的前項和，求．

（1）；（2）證明見解析，；（3） ．

解析試題分析：（1）直接利用導(dǎo)數(shù)得出切線斜率，寫出點處切線方程，在切線方程中令，就可求出切線與軸交點的橫坐標即；（2）要證明數(shù)列為等比數(shù)列，關(guān)鍵是找到與的關(guān)系，按題設(shè)，它們由聯(lián)系起來，，把用（1）中的結(jié)論代換，變?yōu)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/df/a/mcci42.png" style="vertical-align:middle;" />的式子，它應(yīng)該與是有聯(lián)系的，由此就可得出結(jié)論；（3）按照要求，首先求出數(shù)列的通項公式，當然要利用（），直接等于，數(shù)列實際上是一個等差數(shù)列，那么數(shù)列就是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項相乘得到的新數(shù)列，其前項的求法是乘公比錯位相減法，即，記等比數(shù)列的公比是，則有
，兩式相減，即，這個和是容易求得的．
試題解析：（1）由題可得，所以在曲線上點處的切線方程為，即
令，得，即
由題意得，所以      5′
（2）因為，所以
即，
所以數(shù)列為等比數(shù)列故    10′
（3）當時，，當時，
所以數(shù)列的通項公式為，故數(shù)列的通項公式為
  ①
①的  ②
①②得
故       16′
考點：（1）函數(shù)圖象的切線；（2）等比數(shù)列的定義；（3）乘公比錯位相減法求數(shù)列的和．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝ (n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的通項an；
(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝(3n－1)an，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，若不等式(－1)nλ＜Tn對一切n∈N*恒成立，求λ的取值范圍．

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已知是等比數(shù)列的前項和,、、成等差數(shù)列,且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）是否存在正整數(shù),使得?若存在,求出符合條件的所有的集合；若不存在，說明理由.

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設(shè)是公比大于1的等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和．已知，且構(gòu)成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）令，求數(shù)列的前n項和.

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已知，數(shù)列是首項為，公比也為的等比數(shù)列，令
（Ⅰ）若，求數(shù)列的前項和；
（Ⅱ）當數(shù)列中的每一項總小于它后面的項時，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

數(shù)列的前n項和為,
（I）證明:數(shù)列是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若，數(shù)列的前n項和為，求不超過的最大整數(shù)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，且.
⑴證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并寫出通項公式；
⑵若對恒成立，求的最小值；
⑶若成等差數(shù)列，求正整數(shù)的值.

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在數(shù)列中，，，對任意成立，令，且是等比數(shù)列.
（1）求實數(shù)的值；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）求和：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)數(shù)列的前項和為，，.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式；
(Ⅱ）設(shè)是數(shù)列的前項和，求．

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