Question

已知三棱柱ABC-A′B′C′中，面BCC′B′⊥底面ABC，BB′⊥AC，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，AA′=3，E，F(xiàn)分別在棱AA′，CC′上，且AE=C′F=2．
（Ⅰ）求證：BB′⊥底面ABC；
（Ⅱ）在棱A′B′上找一點M，使得C′M∥面BEF，并給出證明．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取BC中點O，先證AO⊥BC，再由面面垂直的性質(zhì)定理證得AO⊥面BCC'B'，再由線面垂直的判定定理即可得證；
（Ⅱ） 顯然M不是A'，B'，當(dāng)M為A'B'的中點，使得C'M∥面BEF，可通過線面平行的判斷定理，即可證得．

解答： （Ⅰ）證明：取BC中點O，因為三角形ABC是等邊三角形，所以AO⊥BC，
又因為面BCC'B'⊥底面ABC，AO?面ABC，面BCC'B'∩面ABC=BC，
所以AO⊥面BCC'B'，又BB'?面BCC'B'，
所以AO⊥BB'．又BB'⊥AC，AO∩AC=A，AO?面ABC，AC?面ABC，
所以BB'⊥底面ABC．
（Ⅱ） 顯然M不是A'，B'，當(dāng)M為A'B'的中點，使得C'M∥面BEF．
證明：過M作MN∥AA'交BE于N，則N為中點，
則MN=

1

2

（A'E+B'B）=2，則MN=C'F，MN∥C'F，
所以四邊形C'MNF為平行四邊形，所以C'M∥FN，
C'M?平面BEF，NF?平面BEF，所以C'M∥面BEF．

點評：本題考查線面平行和垂直的判定和性質(zhì)，以及面面垂直的性質(zhì)定理，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．