Question

【題目】如圖所示，已知AB為圓O的直徑，且AB＝4，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且，點(diǎn)C為圓O上一點(diǎn)，且.點(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，PD＝DB.

(1)求證：CD⊥平面PAB；

(2)求直線PC與平面PAB所成的角．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）連接CO，由題意可得△ACO為等邊三角形，即得CD⊥AO，再由題意得PD⊥CD，即證得CD⊥平面PAB

（2）由(1)知∠CPD是直線PC與平面PAB所成的角，在三角形中結(jié)合各邊長(zhǎng)解三角形即可求出結(jié)果

(1)證明：連接CO，

由3AD＝DB知，點(diǎn)D為AO的中點(diǎn)．

又因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以AC⊥CB.

由AC＝BC知，∠CAB＝60°，

所以△ACO為等邊三角形．故CD⊥AO.

因?yàn)辄c(diǎn)P在圓O所在平面上的正投影為點(diǎn)D，

所以PD⊥平面ABC，又CD平面ABC，所以PD⊥CD，

由PD平面PAB，AO平面PAB，且PD∩AO＝D，

得CD⊥平面PAB.

(2)由(1)知∠CPD是直線PC與平面PAB所成的角，

又△AOC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以CD＝.

在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝，

所以，∠CPD＝30°，

即直線PC與平面PAB所成的角為30°.