Question

16．如圖，平面ABCD⊥平面ADEF，四邊形ABCD為菱形，四邊形ADEF為矩形，M、N分別是EF、BC的中點(diǎn)，AB=2AF=2，∠CBA=60°．
（1）求證：AN⊥DM；
（2）求直線MN與平面ADEF所成的角的正切值；
（3）求三棱錐D-MAN的體積．

Answer 1

分析 （1）連接AC，證明AN⊥AD，利用平面與平面垂直的性質(zhì)證明AN⊥平面ADEF，即可證明AN⊥DM；
（2）由（1）知，NA⊥平面ADEF，可得∠NMA為直線MN與平面ADEF所成的角，求出AN，AM，即可求直線MN與平面ADEF所成的角的正切值；
（3）利用三棱錐D-MAN的體積=三棱錐N-MAD的體積，即可求三棱錐D-MAN的體積．

解答 證明：（1）連接AC，在菱形ABCD中，
∵∠CBA=60°且AB=BC，∴△ABC為等邊三角形．
∵N為BC的中點(diǎn)，∴AN⊥BC，
又∵BC∥AD，∴AN⊥AD，
∵平面ABCD⊥平面ADEF，AN?平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD
∴AN⊥平面ADEF，
∵DM?平面ADEF，
∴AN⊥DM；
解：（2）由（1）知，NA⊥平面ADEF，
∴∠NMA為直線MN與平面ADEF所成的角，
∵四邊形ADEF為矩形，AD=2AF=2，M是EF的中點(diǎn)，
∴AF=FM=1，
∴△AMF為等腰直角三角形，
∴AM=$\sqrt{2}$，
∵△ABC為邊長為2的等邊三角形且N是BC的中點(diǎn)，
∴AN=$\sqrt{3}$，
在Rt△NAM中，tan∠NMA=$\frac{AN}{AM}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
（3）∵四邊形ADEF為矩形，M是EF的中點(diǎn)，AB=2AF=2，
∴ME=DE=1，且DM=AM=$\sqrt{2}$，
∴AD²=AM²+DM²，
∴∠AMD=90°，
∴S_△AMD=$\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\sqrt{2}$=1．
由（1）NA⊥平面ADEF，
∴三棱錐D-MAN的體積=三棱錐N-MAD的體積=$\frac{1}{3}•1•\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，以及著重考查了棱錐的體積公式、線面角，考查空間想象能力、運(yùn)算能力．