Question

11．已知sinα+sinβ=$\frac{1}{4}$，cosα+cosβ=$\frac{1}{3}$，則cos（α+β）=$\frac{7}{25}$．

Answer 1

分析 先利用和差化積公式化簡已知，將兩式相除后，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求tan$\frac{α+β}{2}$，cos²$\frac{α+β}{2}$的值，利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可化簡求值．

解答 解：∵sinα+sinβ=2sin$\frac{α+β}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$=$\frac{1}{4}$，①
cosα+cosβ=2cos$\frac{α+β}{2}$cos$\frac{α-β}{2}$=$\frac{1}{3}$，②
∴①÷②可得：tan$\frac{α+β}{2}$=$\frac{3}{4}$，
∴cos²$\frac{α+β}{2}$=$\frac{1}{1+ta{n}^{2}\frac{α+β}{2}}$=$\frac{16}{25}$，
∴cos（α+β）=2cos²$\frac{α+β}{2}$-1=$\frac{7}{25}$．
故答案為：$\frac{7}{25}$．

點評 本題主要考查了和差化積公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于中檔題．