Question

19．已知函數(shù)f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx（x∈R）．．
（1）當$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（2）設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，且c=3，f（C）=2，若向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）與向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共線，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）化簡函數(shù)f（x），根據(jù)x的取值范圍求出f（x）的最值；
（2）由題意求出C的值，再利用向量$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$共線，以及正弦、余弦定理列方程組，求出a、b的值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx
=2•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\sqrt{3}$•sin2x
=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
由0≤x≤$\frac{π}{2}$，得$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$；
所以-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
所以函數(shù)f（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值是f（x）_max=3，
最小值是f（x）_min=0；
（2）由$f（C）=2sin（2C+\frac{π}{6}）+1=2$，得$sin（2C+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$；
而C∈（0，π），所以$2C+\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}}）$，
所以$2C+\frac{π}{6}=\frac{5}{6}π$，
解得$C=\frac{π}{3}$；
因為向量$\overrightarrow{m}$與向量$\overrightarrow{n}$共線，所以$\frac{sinA}{sinB}=\frac{1}{2}$；
由正弦定理得：$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$①，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即a²+b²-ab=9②；
由①②解得$a=\sqrt{3}，b=2\sqrt{3}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用問題，也考查了正弦、余弦定理的應用問題，考查了平面向量的應用問題，是綜合性題目．