Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=

2an

an+2

，
（1）求a₂，a₃，a₄
（2）猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)遞推式，依次進(jìn)行求解即可．
（2）利用取倒數(shù)法進(jìn)行求解即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=

2an

an+2

，
∴a2=

2•2

2+2

=1，a3=

2•1

1+2

=

2

3

，a4=

2• 2 3

2 3 +2

=

1

2

．
（2）∵a₂=1=

2

2

，a₃=

2

3

，a₄=

1

2

=

2

4

，
∴猜想an=

2

n

，
證明：∵a₁=2，a_n+1=

2an

an+2

，
∴兩邊取倒數(shù)得：

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，
即{

1

an

}是以首項(xiàng)

1

a1

=

1

2

，公差d=

1

2

的等差數(shù)列，
則

1

an

=

1

a1

+(n-1)×

1

2

=

n

2

，
故有an=

2

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，利用取倒數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵，難度不大．