Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²lnx+ax（a∈R）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線在y軸上的截距；
（Ⅱ）對于任意的x₀＞0，記函數(shù)f（x）的圖象在點（x₀，f（x₀））處的切線在y軸上的截距為g（x₀），求g（x₀）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，運用點斜式方程，可得所求切線的方程，令x=0，即可得到所求y軸上的截距；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程，可令x=0，可得y軸上的截距，求得g（x₀）的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，即可得到所求最大值．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x²lnx+ax的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2xlnx+x+a，
可得函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線斜率為1+a，
切點為（1，a），即有切線的方程為y-a=（1+a）（x-1），
令x=0，可得y=a-1-a=-1，
在點（1，f（1））處的切線在y軸上的截距為-1；
（Ⅱ）f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2xlnx+x+a，
可得函數(shù)f（x）的圖象在點（x₀，f（x₀））處的切線斜率為2x₀lnx₀+x₀+a，
即有切線的方程為y-（x₀²lnx₀+ax₀）=（2x₀lnx₀+x₀+a）（x-x₀），
令x=0，可得y=x₀²lnx₀+ax₀-x₀（2x₀lnx₀+x₀+a）=-x₀²lnx₀-x₀²，
設(shè)g（x₀）=-x₀²lnx₀-x₀²，g′（x₀）=-（2x₀lnx₀+x₀）-2x₀=-x₀（2lnx₀+3），
當(dāng)x₀∈（0，e${\;}^{-\frac{3}{2}}$）時，g′（x₀）＞0，g（x₀）遞增；
當(dāng)x₀∈（e${\;}^{-\frac{3}{2}}$，+∞）時，g′（x₀）＜0，g（x₀）遞減．
可得g（x₀）_max=g（e${\;}^{-\frac{3}{2}}$）=$\frac{1}{2}$e^-3．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查直線方程的運用，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．