Question

已知f（x）=x+

a2

x

（a＞0）．
（1）求證：f（x）在（0，a]上是減函數(shù)，在（a，+∞）上是增函數(shù)；
（2）求函數(shù)g（x）=4x+

9

x

在[1，3]上最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用單調(diào)性的定義證明，注意取值、作差和變形、定符號(hào)、下結(jié)論幾個(gè)步驟；
（2）運(yùn)用（1）的結(jié)論，即可得到g（

3

2

）取得最小，比較端點(diǎn)的函數(shù)值，可得最大值．

解答： （1）證明：設(shè)x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=x₁+

a2

x1

-x₂-

a2

x2

=（x₁-x₂）+a²（

1

x1

-

1

x2

）=（x₁-x₂）•

x1x2-a2

x1x2

，
則當(dāng)0＜x₁＜x₂≤a時(shí)，x₁-x₂＜0，x₁x₂＜a²，即有x₁x₂-a²＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＞0，則f（x）在（0，a]上是減函數(shù)；
當(dāng)a＜x₁＜x₂時(shí)，x₁-x₂＜0，x₁x₂＞a²，即有x₁x₂-a²＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，則f（x）在（a，+∞）上是增函數(shù)；
（2）由（1）得，函數(shù)g（x）=4x+

9

x

在（0，

3

2

]上是減函數(shù)，
在（

3

2

，+∞）上為增函數(shù)，
即有g(shù)（x）在[1，

3

2

]上是減函數(shù)，在（

3

2

，3]上是增函數(shù)，
則g（

3

2

）取得最小，且為12，由于g（1）=13，g（3）=15，
則最大值為15．
即有函數(shù)g（x）=4x+

9

x

在[1，3]上最大值為15，最小值為12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的證明和運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算和判斷能力，屬于基礎(chǔ)題．