Question

已知奇函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=2^x-1．則f（log₂10）的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先判斷l(xiāng)og₂10的范圍，利用函數(shù)的周期為2轉(zhuǎn)化到區(qū)間（-1，0）內(nèi)，再根據(jù)偶函數(shù)的定義和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出f（log₂10）的值．

解答： 解：∵3＜log₂10＜4，∴-1＜-4+log₂10＜0，∵f（x+1）=-f（x），∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是以2為周期的奇函數(shù)，
∴f（log₂10）=f（-4+log₂10）=-f（4-log₂10），
∵當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）=2^x-1，∴f（4-log₂10）=16×

1

10

-1=

3

5

，
即f（log₂10）=-

3

5

．
故答案為：-

3

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性和周期性的應(yīng)用，根據(jù)周期性把自變量的范圍轉(zhuǎn)化到與題意有關(guān)的區(qū)間上，再由奇偶性聯(lián)系f（x）=-f（-x），利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出函數(shù)值．