Question

如圖，△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，…，△A_n-1B_nA_n均為等腰直角三角形，其直角頂點(diǎn)B₁，B₂，…，B_n（n∈N^*）在曲線y=

1

x

（x＞0）上，A₀與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，A_i（i∈N^*）在x軸正半軸上．設(shè)B_n的縱坐標(biāo)為y_n，則y₁+y₂+…+y_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,函數(shù)的圖象

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題設(shè)知a₁=

a1

2

+

2

a1

，由此能求出a₁，利用△A_n-1B_nA_n為等腰直角三角形，且B_n為直角頂點(diǎn)，求出B_n點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，再根據(jù)B_n點(diǎn)為函數(shù)y=

1

x

（x＞0）圖象上的點(diǎn)，坐標(biāo)滿足函數(shù)y=

1

x

（x＞0）的解析式，就可得到a_n和a_n-1 之間的關(guān)系式．?dāng)?shù)列{a_n²}是首項(xiàng)為4，公差為4的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．由裂項(xiàng)法，能求出數(shù)列{y_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：∵曲線y=

1

x

上的點(diǎn)與x軸上的點(diǎn)順次構(gòu)成等腰直角三角形△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，…，直角頂點(diǎn)在曲線上y=

1

x

，設(shè)A_n的坐標(biāo)為（a_n，0），A₀為原點(diǎn)，
∴a₁=

a1

2

+

2

a1

，
解得a₁=2．
過(guò)B_n點(diǎn)作B_nH⊥x軸，垂足為H，
∵△A_n-1B_nA_n為等腰直角三角形，且B_n為直角頂點(diǎn)，
∴y_n=|B_nH|=

1

2

|A_n-1A_n|=

an-an-1

2

，
∴B_n點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

an-an-1

2

，
∵△A_n-1B_nA_n為等腰直角三角形，且B_n為直角頂點(diǎn)，
∴H點(diǎn)為線段A_n-1A_n的中點(diǎn)，
∴H點(diǎn)橫坐標(biāo)為

an+an-1

2

，
∵B_nH⊥x軸，∴B_n點(diǎn)的橫坐標(biāo)也為

an+an-1

2

，
∵B_n點(diǎn)為函數(shù)y=

1

x

（x＞0）圖象上的點(diǎn)，
∴

an-an-1

2

•

an+an-1

2

=1
∴a_n²-a_n-1²=4．
a₁=2，
∴數(shù)列{a_n²}是首項(xiàng)為4，公差為4的等差數(shù)列，
∴a_n²=4n，
∴a_n=2

n

．
∵y_n=

2

an+an-1

=

1

n + n-1

=

n

-

n-1

，
∴S_n=（1-

0

）+（

2

-1）+…+（

n

-

n-1

）
=

n

．
故答案為：

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意數(shù)與函數(shù)的綜合應(yīng)用．