已知雙曲線的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在坐標(biāo)軸上,離心率為,且過點(diǎn)P(4,-).

(1)求雙曲線的方程.

(2)若點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,求證:·=0.

(3)求△F1MF2的面積.

 

(1) x2-y2=6 (2)見解析 (3)6

【解析】(1)∵e=,

∴可設(shè)雙曲線方程為x2-y2=λ(λ≠0).

∵過點(diǎn)P(4,-),∴16-10=λ,即λ=6.

∴雙曲線方程為x2-y2=6.

(2)方法一:由(1)可知,雙曲線中a=b=,

∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0).

∴=,=,

·==-.

∵點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,

∴9-m2=6,m2=3.

故·=-1,∴MF1⊥MF2.

∴·=0.

方法二:∵=(-3-2,-m),

=(2-3,-m),

∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2.

∵M(3,m)在雙曲線上,

∴9-m2=6,即m2-3=0.

∴·=0.

(3)△F1MF2的底|F1F2|=4,

△F1MF2的邊F1F2上的高h=|m|=,

∴=6.

 

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(1)求M.

(2)當(dāng)a,b∈M時(shí),證明:2|a+b|<|4+ab|.

 

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(1)求橢圓C及拋物線C1,C2的方程.

(2)若動(dòng)直線l與直線OP垂直,且與橢圓C交于不同兩點(diǎn)M,N,已知點(diǎn)Q(-,0),求·的最小值.

 

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設(shè)直線l:2x+y-2=0與橢圓x2+=1的交點(diǎn)為A,B,點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),則使得△PAB的面積為的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為　　　.

 

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已知拋物線y=-x2+3上存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的相異兩點(diǎn)A,B,則|AB|等于(　　)

(A)3 (B)4 (C)3 (D)4

 

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已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=x,則雙曲線的離心率為(　　)

(A) (B) (C) (D)

 

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如圖,

在平面直角坐標(biāo)系中,方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0的圓M的內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD互相垂直,且AC和BD分別在x軸和y軸上.

(1)求證:F<0.

(2)若四邊形ABCD的面積為8,對(duì)角線AC的長為2,且·=0,求D2+E2-4F的值.

(3)設(shè)四邊形ABCD的一條邊CD的中點(diǎn)為G,OH⊥AB且垂足為H.試用平面解析幾何的研究方法判斷點(diǎn)O,G,H是否共線,并說明理由.

 

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(1)求橢圓C的方程和其“準(zhǔn)圓”的方程.

(2)點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過動(dòng)點(diǎn)P作直線l1,l2使得l1,l2與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn),且l1,l2分別交其“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M,N.

①當(dāng)P為“準(zhǔn)圓”與y軸正半軸的交點(diǎn)時(shí),求l1,l2的方程;

②求證:|MN|為定值.

 

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(C)x2+y2=2(x≠±2) (D)x2+y2=4(x≠±2)

 

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