Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax．（a∈R）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求證：．

Answer 1

解（I）f′（x）=3x²-a
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0恒成立，故函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增
當(dāng)a＞0時(shí)，由由f′（x）≥0可得c×或x
由f′（x）＜0可得
綜上可得，a≤0時(shí)，f′（x）≥0恒成立，故函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（，+∞），（-∞，-），單調(diào)遞減區(qū)間（）
（II）證明：原不等式可化為xlnx＞
容易得x＞0，上式兩邊同乘以x可得x²lnx
設(shè)p（x）=x²lnx，q（x）=--=
則由p′（x）=x（2lnx+1）可得x=0（舍）或x=
∴時(shí)，p′（x）＜0，x＞時(shí)，p′（x）＞0
∴當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)p（x）取得最小值
∵q（x）=--==
當(dāng)且僅當(dāng)即xe^x=e時(shí)取等號(hào)
令r（x）=xe^x，可得r（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且r（1）=e
當(dāng)x=1時(shí)，q（x）有最小值q（x）=-
∴
由于上面兩個(gè)等號(hào)不能同時(shí)取得，故有p（x）＞q（x0，則原不等式成立
分析：（I）先求導(dǎo)，令f′（x）=0，由f′（x）≥0可求函數(shù)的遞增區(qū)間，由f′（x）＜0可求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間
（II）要證明原不等式，可轉(zhuǎn)化為證明x²lnx，構(gòu)造函數(shù)設(shè)p（x）=x²lnx，q（x）=--=，利用導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)p（x）取得最小值，利用基本不等式可求q（x）有最小值q（x）=-，可證
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性，基本思路：當(dāng)函數(shù)是增函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于等于零恒成立，當(dāng)函數(shù)是減函數(shù)時(shí)，導(dǎo)數(shù)小于等于零恒成立，而（2）中的證明具有很強(qiáng)的技巧性，綜合了導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，基本不等式求解函數(shù)的最值及利用構(gòu)造函數(shù)證明不等式．