Question

已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=t，a₂=t²（t＞0且t≠1）．是函數(shù)f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一個極值點(diǎn)．
（1）證明數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記，當(dāng)t=2時，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求使S_n＞2008的n的最小值；
（3）當(dāng)t=2時，是否存在指數(shù)函數(shù)g（x），使得對于任意的正整數(shù)n有成立？若存在，求出滿足條件的一個g（x）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數(shù)求導(dǎo)令，即．變形可得a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1）符合等比數(shù)列的定義，利用通項(xiàng)公式求解．
（2）由（1）求得，再求得S_n=由S_n＞2008，得，，當(dāng)n≤1400時，，當(dāng)n≥1005時，，取得n最小值
（3）由想到裂項(xiàng)相消法求和，由其結(jié)構(gòu)不妨設(shè)g（k）=2^k，運(yùn)算驗(yàn)證即可．
解答：解：（1）f'（x）=3a_n-1x²-3[（t+1）a_n-a_n+1]（n≥2）．
由題意，即．（1分）
∴a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1）（n≥2）
∵t＞0且t≠1，∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是以t²-t為首項(xiàng)，t為公比的等比數(shù)列，（2分）
∴a_n+1-a_n=（t²-t）t^n-1=（t-1）•tⁿ，
∴a₂-a₁=（t-1）t，
a₃-a₂=（t-1）•t²，
a_n-a_n-1=（t-1）t^n-1
以上各式兩邊分別相加得a_n-a₁=（t-1）（t+t²+t^n-1），∴a_n=tⁿ（n≥2），
當(dāng)n=1時，上式也成立，∴a_n=tⁿ（5分）
（2）當(dāng)t=2時，
∴
=（7分）
由S_n＞2008，得，，（8分）
當(dāng)，
因此n的最小值為1005．（10分）
（3）∵
令g（k）=2^k，則有：
則==（13分）
即函數(shù)g（k）=2^x滿足條件．
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)求導(dǎo)，變形求數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和以及數(shù)列不等式的解法，多數(shù)是用放縮法．