Question

12．已知△ABC的外接圓的半徑為R，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若asinBcosC+$\frac{3}{2}$csinC=$\frac{2}{R}$，則△ABC面積的最大值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由正弦定理得$abcosC+\frac{3}{2}{c}^{2}$=4，從而a²+b²+2c²=8，由余弦定理得8-3c²=2abcosC，記△ABC的面積為S，則4S=2absinC，從而（8-3c²）²+16S²=4a²b²≤（a²+b²）²，進(jìn)而16S²≤c²（16-5c²），由此能求出△ABC面積的最大值．

解答 解：∵△ABC的外接圓的半徑為R，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，asinBcosC+$\frac{3}{2}$csinC=$\frac{2}{R}$，
∴由正弦定理得$abcosC+\frac{3}{2}{c}^{2}$=4，
∴ab•$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+$\frac{3}{2}{c}^{2}$=4，
整理，得：a²+b²+2c²=8，
由余弦定理得8-3c²=2abcosC，①
記△ABC的面積為S，則4S=2absinC，②
將①②平方相加，得：
（8-3c²）²+16S²=4a²b²≤（a²+b²）²，
∴16S²≤c²（16-5c²），即S²≤$\frac{4}{5}$，S≤$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
當(dāng)且僅當(dāng)c²=$\frac{8}{5}$時(shí)等號(hào)成立，
∴△ABC面積的最大值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形面積的最大值的求法，考查同角三角函數(shù)關(guān)系式、正弦定理、余弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．