Question

12．（1）已知$f（x）=（1-3x）{（1+x）^5}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_6}{x^6}$，求${a_0}+\frac{1}{3}{a_1}+\frac{1}{3^2}{a_2}+…+\frac{1}{3^6}{a_6}$
（2）已知在（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，求含x²的項(xiàng)的系數(shù)；
（3）求和${S_{10}}=C_{10}^1+2C_{10}^2+3C_{10}^3+…+10C_{10}^{10}$．

Answer 1

分析 （1）比較可知求f（$\frac{1}{3}$）即可；
（2）利用二項(xiàng)式定理可知展開式中通項(xiàng)公式T_k+1=${C}_{n}^{k}$•${x}^{\frac{n-k}{3}}$•$（-\frac{1}{2\root{3}{x}}）^{k}$，利用第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)可求出n=10，進(jìn)而可知T_k+1=${C}_{10}^{k}$•$（-\frac{1}{2}）^{k}$•${x}^{\frac{10-2k}{3}}$，令$\frac{10-2k}{3}$=2，進(jìn)而計(jì)算即可；
（3）通過(guò)倒序相加法，結(jié)合二項(xiàng)式定理計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵$f（x）=（1-3x）{（1+x）^5}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_6}{x^6}$，
∴${a_0}+\frac{1}{3}{a_1}+\frac{1}{3^2}{a_2}+…+\frac{1}{3^6}{a_6}$=f（$\frac{1}{3}$）=（1-3×$\frac{1}{3}$）（1+$\frac{1}{3}$）⁵=0；
（2）由二項(xiàng)式定理可知（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ的展開式中通項(xiàng)公式T_k+1=${C}_{n}^{k}$•${x}^{\frac{n-k}{3}}$•$（-\frac{1}{2\root{3}{x}}）^{k}$，
又∵展開式中第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，
∴${x}^{\frac{n-5}{3}}$•$（-\frac{1}{2\root{3}{x}}）^{5}$為常數(shù)，即${x}^{\frac{n-5}{3}}$•${x}^{-\frac{5}{3}}$=1，∴n=10，
∴T_k+1=${C}_{10}^{k}$•${x}^{\frac{10-k}{3}}$•$（-\frac{1}{2}）^{k}$•${x}^{-\frac{k}{3}}$=${C}_{10}^{k}$•$（-\frac{1}{2}）^{k}$•${x}^{\frac{10-k}{3}}$•${x}^{-\frac{k}{3}}$=${C}_{10}^{k}$•$（-\frac{1}{2}）^{k}$•${x}^{\frac{10-2k}{3}}$，
令$\frac{10-2k}{3}$=2，解得：k=2，
∴含x²的項(xiàng)的系數(shù)為${C}_{10}^{2}$•$（-\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{45}{4}$；
（3）∵${S_{10}}=C_{10}^1+2C_{10}^2+3C_{10}^3+…+10C_{10}^{10}$，
∴S₁₀=${C}_{10}^{9}$+2${C}_{10}^{8}$+…+7${C}_{10}^{3}$+8${C}_{10}^{2}$+9${C}_{10}^{1}$+10${C}_{10}^{0}$，
兩式相加，得：2S₁₀=10（${C}_{10}^{10}$+${C}_{10}^{9}$+${C}_{10}^{8}$+…+${C}_{10}^{3}$+${C}_{10}^{2}$+${C}_{10}^{1}$+${C}_{10}^{0}$），
∴S₁₀=5（${C}_{10}^{10}$+${C}_{10}^{9}$+${C}_{10}^{8}$+…+${C}_{10}^{3}$+${C}_{10}^{2}$+${C}_{10}^{1}$+${C}_{10}^{0}$）
=5•（1+1）¹⁰
=5•2¹⁰．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．