Question

12．設數列{a_n}（n∈N）為正實數數列，且滿足$\sum_{i=0}^{n}$C${\;}_{n}^{i}$a_ia_n-i=a_n²．
（1）若a₂=4，寫出a₀，a₁；
（2）判斷{a_n}是否為等比數列？若是，請證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）當n=1時，a₀a₁+a₀a₁=${a}_{1}^{2}$；${a}_{2}^{2}$=2a₀a₂+2${a}_{1}^{2}$=2a₀a₂+$8{a}_{0}^{2}$，化簡聯立即可解出．
（2）假設對n≤i，均有${a}_{n}={2}^{n}{a}_{0}$（n∈N），利用已知化簡解出即可得出．

解答 解：（1）當n=1時，a₀a₁+a₀a₁=${a}_{1}^{2}$，可得a₁=2a₀，當n=2時，${a}_{2}^{2}$=2a₀a₂+2${a}_{1}^{2}$=2a₀a₂+$8{a}_{0}^{2}$，解得a₂=4a₀，解得：a₀=1，a₁=2．
（2）假設對n≤i，均有${a}_{n}={2}^{n}{a}_{0}$（n∈N），則當n=i+1時，${a}_{i+1}^{2}$=$\sum_{i=0}^{i+1}$${∁}_{i+1}^{k}{a}_{k}{a}_{i+1-k}$=2a₀a_i+1+2ⁱ⁺¹${a}_{0}^{2}$（2ⁱ⁺¹-2），∴$（{a}_{i+1}-{2}^{i+1}{a}_{0}）$$（{a}_{i+1}+（{2}^{i+1}-2）{a}_{0}）$=0．
解得a_i+1=2ⁱ⁺¹a₀，綜上可得：均有${a}_{n}={2}^{n}{a}_{0}$（n∈N），
{a_n}為等比數列．

點評 本題考查了等比數列的通項公式、遞推關系、數學歸納法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．