Question

【題目】設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為D，若對于任意的x1 ， x2∈D，當x1+x2=2A時，恒有F（x1）+f（x2）=2b，則稱（a，b）為函數(shù)y=f（x）圖象的對稱中心，研究函數(shù)f（x）=x3+sinx+1的某一個對稱中心，并利用對稱中心的上述定義，可得到f（﹣2016）+f（﹣2015）+f（﹣2015）+f（﹣2014）+…+f（2014）+f（2015）+f（2016）=（ ）
A.0
B.2016
C.4032
D.4033

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵f（x）=x3+sinx+1，∴f′（x）=3x2﹣cosx，f'（x）=6x+sinx，
∵f'（0）=0，f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+1﹣x3﹣sinx+1=2，
∴函數(shù)f（x）=x3+sinx+1的一個對稱中心為（0，1），
即當x1+x2=0時，總有f（x1）+f（x2）=2，
∴f（﹣2016）+f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）+f（2016）
=2×2016+f（0）
=4033．
故選：D．
【考點精析】通過靈活運用函數(shù)的值，掌握函數(shù)值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法即可以解答此題．