Question

已知函數(shù)y=f（x），x∈D，設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)（x₀，f（x₀））處的切線的方程為y=kx+m，如果對(duì)任意的x∈D，均有：
①當(dāng)x＜x₀時(shí)，f（x）＜kx+m；
②當(dāng)x=x₀時(shí)，f（x）=kx+m；
③當(dāng)x＞x₀時(shí)，f（x）＞kx+m．
則稱x₀為函數(shù)y=f（x）的一個(gè)“∫-點(diǎn)”．
（Ⅰ）判斷0是否是下列函數(shù)的“∫-點(diǎn)”：
①f（x）=x³；②f（x）=sinx．（只需寫(xiě)出結(jié)論）
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+lnx．
①若a=

1

2

，證明：1是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)“∫-點(diǎn)”；
②若函數(shù)y=f（x）存在“∫-點(diǎn)”，直接寫(xiě)出a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

專題：證明題,新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由新定義，即可判斷①0是f（x）=x³的“?-點(diǎn)”；②0不是f（x）=sinx的“?-點(diǎn)”．
（Ⅱ）①當(dāng)a=

1

2

時(shí)，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求出切線斜率和切點(diǎn)，以及切線方程，再由定義即可判斷；
②求出導(dǎo)數(shù)，求出切線斜率和方程，由新定義，即可判斷a＞0．

解答： 解：（Ⅰ）①0是f（x）=x³的“?-點(diǎn)”；
②0不是f（x）=sinx的“?-點(diǎn)”．
（Ⅱ）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，f(x)=

1

2

x2+lnx．
其定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=x+

1

x

（x＞0）．
①證明：因?yàn)?nbsp;f'（1）=2，f(1)=

1

2

．
所以 f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-

1

2

=2(x-1)，
即 y=2x-

3

2

．
令 g(x)=f(x)-(2x-

3

2

)=

1

2

x2+lnx-2x+

3

2

．
則 g′(x)=x+

1

x

-2=

(x-1)2

x

．
因?yàn)?nbsp;x＞0，
所以 g′(x)=

(x-1)2

x

≥0．
所以函數(shù)g（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)．
所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）＜g（1）=0，即f(x)＜2x-

3

2

；
當(dāng)x=1時(shí)，g（x）=g（1）=0，即f(x)=2x-

3

2

；
當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＞g（1）=0，即f(x)＞2x-

3

2

．
所以 1是函數(shù)y=f（x）的“?-點(diǎn)”．
②若函數(shù)y=f（x）存在“?-點(diǎn)”，則a的取值范圍是a＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，考查單調(diào)性的運(yùn)用，屬于中檔題．