Question

已知函數(shù)y=f（x）的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，再將整個(gè)圖象沿x軸向左平移

π

2

個(gè)單位，沿y軸向下平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=sin（

1

2

x-

π

4

）+x-

π

2

的圖象．
（1）求f（x）；
（2）若f（1-a）-f（1-a²）＞0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象與圖象變化,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用函數(shù)圖象的變換求解，（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式求解．

解答： 解：（1）把函數(shù)y=sin（

1

2

x-

π

4

）+x-

π

2

的圖象，沿y軸向上平移1個(gè)單位，
得到：函數(shù)數(shù)y=sin（

1

2

x-

π

4

）+x-

π

2

+1的圖象，再將整個(gè)圖象沿x軸向右平移

π

2

個(gè)單位，
得到函數(shù)y=sin（

1

2

（x-

π

2

）-

π

4

）+x-

π

2

+1=-cos

1

2

x-π+1，
再把得到的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的

1

2

倍，
得到函數(shù)y=-cosx+2x-π+1，
所以f（x）=-cosx+2x-π+1，
（2）∵f′（x）=2+sinx＞0
∴f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)
∵f（1-a）-f（1-a²）＞0，
∴f（1-a）＞f（1-a²）
1-a＞1-a²，a＜a²，
所以a＞1或a＜0

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，圖象的變換，屬于中檔題．