Question

在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，E為PC的中點，底面BCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積．
（2）求證：BC⊥底面PBD．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知求出S_梯形ABCD=

1

2

(AB+CD)×AD=

1

2

(1+2)×1=

3

2

，由此能求出四棱錐P-ABCD的體積．
（2）由已知得PD⊥AD，DB⊥BC，從而PD⊥BC，由此能證明BC⊥平面PBD．

解答： （1）解：在四棱錐P-ABCD中，
∵PD⊥底面ABCD，E為PC的中點，底面BCD是直角梯形，
AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
∴S_梯形ABCD=

1

2

(AB+CD)×AD=

1

2

(1+2)×1=

3

2

，
∴四棱錐P-ABCD的體積V=

1

3

S梯形ABCD×PD=

1

3

×

3

2

×1=

1

2

．
（2）解：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD，
在直角梯形ABCD中，BD=BC=

2

，DC=2，
∴∠CBD=90°，即DB⊥BC，
又由PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，
又PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD．

點評：本題考查四棱錐的體積的求法，考查直線與平面垂直的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．