Question

若y=sin²x+2pcosx+q有最大值9和最小值3，求實數p，q的值．

Answer 1

解：y=sin²x+2pcosx+q=-cos²x+2pcosx+q+1…（2分）
令cosx=t，t∈[-1，1]，則y=-t²+2pt+q+1=-（t-p）²+p²+q+1，y=-（t-p）²+p²+q+1的對稱軸為t=p…（3分）
①當p＜-1時，函數y在t∈[-1，1]為減函數y_max=y|_t=-1=-2p+q=9，y_min=y|_t=1=2p+q=3，解得：…（5分）
②當p＞1時，函數y在t∈[-1，1]為增函數y_min=y|_t=-1=-2p+q=3，y_max=y|_t=1=2p+q=9，…（7分）
③當-1≤p≤1時，y_max=y|_t=p=p²+q+1=9
（i）當-1≤p≤0時，y_min=y|_t=1=2p+q=3
解得：，與-1≤p≤0矛盾； …（9分）
（ii）當0＜p≤1時，y_min=y|_t=-1=-2p+q=3
解得：，與0＜p≤1矛盾．…（11分）
綜合上述：或．…（12分）
分析：利用同角三角函數關系及換元法，可將函數y=sin²x+2pcosx+q的解析式化為y=-t²+2pt+q+1=-（t-p）²+p²+q+1，t∈[-1，1]，進而根據二次函數在定區(qū)間上最值問題，結合函數的最大值9和最小值3，分類討論，最后綜合討論結果，即可得到實數p，q的值．
點評：本題考查的知識點是余弦函數的值域，二次函數在閉區(qū)間上的最值，其中利用同角三角函數關系及換元法，將問題轉化為二次函數在閉區(qū)間上的最值問題，是解答本題的關鍵．