Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2lnx+{a}^{2}}{x}$+bx-2a（a∈R），其中b=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（2sin$\frac{t}{2}$•cos$\frac{t}{2}$）dt，若?x∈（1，2），使得f′（x）•x+f（x）＞0成立，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． （-∞，1）
• B． （0，1]
• C． （-∞，$\frac{5}{2}$）
• D． （-∞，$\frac{5}{2}$]

Answer 1

分析 先利用微積分基本定理求出a，得到函數(shù)的解析式，再求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，求出函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$的最大值即可．

解答 解：b=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（2sin$\frac{t}{2}$•cos$\frac{t}{2}$）dt=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$sintdt=-cost|${\;}_{0}^{\frac{π}{2}}$=-（cos$\frac{π}{2}$-cos0）=1，
∴f（x）=$\frac{2lnx+{a}^{2}}{x}$+x-2a，
設(shè)g（x）=xf（x）=2lnx+a²+x²-2ax，
∴g′（x）=$\frac{2}{x}$+2x-2a，g′（x）=f′（x）•x+f（x），
∵?x∈（1，2），使得f′（x）•x+f（x）＞0成立，
∴?x∈（1，2），使得$\frac{2}{x}$+2x-2a＞0，
∴?x∈（1，2），使得a＜$\frac{1}{x}$+x，
又y=x+$\frac{1}{x}$在（1，2）上單調(diào)遞增，
∴a＜（$\frac{1}{x}$+x）_max＜$\frac{1}{2}$+2=$\frac{5}{2}$，
∴a＜$\frac{5}{2}$，
故選：C

點評 本題以函數(shù)為載體，考查微積分基本定理，導(dǎo)數(shù)的運用，考查了學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題