Question

20．若對(duì)任意的x₁，x₂∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有$\frac{a}{{x}_{1}}$+x₁lnx₁≥x₂³-x₂²-3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． （-∞，0）
• D． （-∞，-1]

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=$\frac{a}{x}+xlnx$，g（x）=x³-x²-3，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，求出g（x）的最大值為1，則f（x）≥1恒成立，故f（1）≥1，利用排除法可選出答案．

解答 解：設(shè)f（x）=$\frac{a}{x}+xlnx$，g（x）=x³-x²-3，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，則f_min（x）≥g_max（x），
g′（x）=3x²-2x=x（3x-2），
∴當(dāng)$\frac{1}{2}≤x＜\frac{2}{3}$時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)$\frac{2}{3}＜x≤2$時(shí)，g′（x）＞0，
∴g（x）在[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]上單調(diào)遞減，在（$\frac{2}{3}$，2]上單調(diào)遞增，
又g（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{25}{8}$，g（2）=1，
∴g（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值為g_max（x）=1．
∴f_min（x）≥1，
∴f（1）≥f_min（x）≥1，即a≥1，
排除A，C，D，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)最值的計(jì)算，函數(shù)恒成立問(wèn)題研究，屬于中檔題．