Question

已知函數(shù)f（x）=kx，g（x）=

lnx

x

（Ⅰ）求函數(shù)g（x）=

lnx

x

的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（Ⅲ）求證：

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

（1-

1

n

）（n≥2，n∈N^*）．（e為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）由已知得g′(x)=

1 x x-lnx

x2

=

1-lnx

x2

，由此能求出函數(shù)g（x）=

lnx

x

的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）由已知k≥

lnx

x2

對（0，+∞）恒成立，構(gòu)造函數(shù)h（x）=

lnx

x2

，x＞0，利用導數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)k的取值范圍．（Ⅲ）由

lnx

x2

≤

1

2e

，得

lnx

x4

≤

1

2e

•

1

x2

，由此利用放縮法和裂項求和法能證明

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

（1-

1

n

）（n≥2，n∈N^*）．

解答： （Ⅰ）解：g′(x)=

1 x x-lnx

x2

=

1-lnx

x2

，
由g′（x）＞0，得1-lnx＞0，解得0＜x＜e，
∴函數(shù)g（x）=

lnx

x

的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，e）．
（Ⅱ）解：f（x）≥g（x）即kx≥

lnx

x

對（0，+∞）內(nèi)恒成立，
∴k≥

lnx

x2

對（0，+∞）恒成立，
構(gòu)造函數(shù)h（x）=

lnx

x2

，x＞0，
則h′（x）=

1-2lnx

x3

，
由h′（x）=0，得x=

e

，
又x∈(0，

e

)，h′（x）＞0；x∈（

e

，+∞）時，h′（x）＜0，
∴h（x）_max=h（

e

）=

1

2e

，
∴k≥

1

2e

，即實數(shù)k的取值范圍是[

1

2e

，+∞）．
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知

lnx

x2

≤

1

2e

，
∴

lnx

x4

≤

1

2e

•

1

x2

，
∴

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

≤

1

2e

(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)
＜

1

2e

[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

]
=

1

2e

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

+

1

n

)
=

1

2e

(1-

1

n

)，
∴

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

（1-

1

n

）（n≥2，n∈N^*）．

點評：本題重點考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點考查學生的代數(shù)推理論證能力．解題時要認真審題，注意導數(shù)性質(zhì)的合理運用．