Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1

3

ax3-

1

2

x2+bx+1(a，b∈R)，且函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸．
（Ⅰ）試用a表示b；
（Ⅱ）當(dāng)a＜

1

2

時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）證明：當(dāng)a=-3時(shí)，對(duì)?x₁，x₂∈[1，2]，都有|f(x1)-f(x2)|≤

9

2

．

Answer 1

分析：（I）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)在x=1處的值為0，列出方程求出a，b的關(guān)系．
（II）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，通過對(duì)導(dǎo)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)的討論及導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)根大小的討論，判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（III）通過（II）得到f（x）當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性，求出f（x）在[1，2]上的最大值及最小值，不等式得證．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

1

3

ax3-

1

2

x2+bx+1，
f'（x）=ax²-x+b，
∴f'（1）=a-1+b=0，
∴b=1-a．
（Ⅱ）f'（x）=ax²-x+1-a=（x-1）[ax-（1-a）]．
∵a＜

1

2

，
（1）當(dāng)a=0時(shí)，f'（x）=1-x，f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，1），遞減區(qū)間為（1，+∞）；
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，f′(x)=(x-1)[ax-(1-a)]=a(x-1)[x-(

1

a

-1)]，
若0＜a＜

1

2

，則

1

a

-1＞1，
由f'（x）＞0得(x-1)[x-(

1

a

-1)]＞0，
∴x＞

1

a

-1或x＜1；
由f'（x）＜0得1＜x＜

1

a

-1；
∴f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，1）和(

1

a

-1，+∞)，遞減區(qū)間為(1，

1

a

-1)．
若a＜0，則

1

a

-1＜1，
由f'（x）＞0得(x-1)[x-(

1

a

-1)]＜0，
∴

1

a

-1＜x＜1．
由f'（x）＜0得x＞1或x＜

1

a

-1，
∴f（x）的遞增區(qū)間為(

1

a

-1，1)，遞減區(qū)間為(-∞，

1

a

-1)和（1，+∞）．
綜上所述，當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，1）和(

1

a

-1，+∞)，遞減區(qū)間為(1，

1

a

-1)；
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，1），遞減區(qū)間為（1，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的遞增區(qū)間為(

1

a

-1，1)，遞減區(qū)間為(-∞，

1

a

-1)和（1，+∞）．
（Ⅲ）當(dāng)a=-3時(shí)，f(x)=-x3-

1

2

x2+4x+1，
由（Ⅱ）知，函數(shù)f（x）在x∈[1，2]為減函數(shù)，
∴x∈[1，2]，f(x)max=f(1)=

7

2

，f（x）_min=f（2）=-1，
∴對(duì)?x₁，x₂∈[1，2]，|f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min=

9

2

，
即|f(x1)-f(x2)|≤

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是曲線的切線斜率；求函數(shù)的單調(diào)性，一般利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與單調(diào)性的關(guān)系，當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，一般需要討論．