Question

已知數(shù)列{a_n}各項均為正數(shù)，其前n項和為S_n，點（a_n，S_n）在曲線（x+1）²=4y上．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b₁=3，令b_n+1=a_bn，設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求數(shù)列{T_n-6n}中最小項的值．

Answer 1

解（1）∵點（a_n，S_n）在曲線（x+1）²=4y上．
∴（a_n+1）²=S_n×4
當(dāng)n≥2時，（a_n-1+1）²=S_n-1
兩式相減可得S_n-S_n-1=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²=a_n×4
即（a_n-1）²=（a_n-1+1）²
∴（a_n-a_n-1-2）（a_n+a_n-1）=0
∵a_n＞0∴a_n-a_n-1=2∵，（a₁+1）²=4S₁∴a₁=1
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1
（2）∵b_n+1=
∴b_n+1-1=2（b_n-1）∵b₁=3
∴b_n-1=2•2^n-1=2ⁿ
∴b_n=2ⁿ+1
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=2+1+2²+1+…+2ⁿ+1
=
=2ⁿ⁺¹+n-2
∴T_n-6n=2ⁿ⁺¹-5n-2
令F（n）=2ⁿ⁺¹-5n-2
∵F（n+1）-F（n）=2ⁿ⁺¹-5
當(dāng)n=1時，F(xiàn)（2）＜F（1）
當(dāng)n≥2時，F(xiàn)（n）＞F（n-1）＞…F（3）＞f（2）
∴F（n）最小值為F（2）=-4
分析：（1）由點（a_n，S_n）在曲線（x+1）²=4y上．可得（a_n+1）²=S_n×4，n≥2時，（a_n-1+1）²=S_n-1，兩式相減結(jié)合a_n＞0可得a_n-a_n-1=2，由等差數(shù)列的通項公式可求
（2）由b_n+1=可得b_n+1-1=2（b_n-1），b₁=3，由等比數(shù)列的通項公式可求b_n-1=2•2^n-1=2ⁿ，利用分組求和及等比數(shù)列求和公式可求T_n，結(jié)合T_n-6n的單調(diào)性可求最小項的值
點評：本題主要考查了由數(shù)列的和與項的遞推公式求解數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列通項公式的應(yīng)用，由形如a_n=pa_n-1+q的遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列通項公式，等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，利用數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列中的最小項的問題，屬于綜合性試題．