Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}，x＜0}\\{{x}^{3}+a{x}^{2}+1，x≥0}\end{array}\right.$，其中a是常數(shù)．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)x=-2和x=2處的切線互相平行，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）探求關(guān)于x的方程27f（x）-a³=0的根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（-2）=f′（2），求出a的值即可；
（Ⅱ）在x的范圍內(nèi)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅲ）通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)性，求出f（x）的極小值，從而求出方程根的個(gè)數(shù)即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x，x＜0}\\{{3x}^{2}+2ax，x≥0}\end{array}\right.$，
∴f′（-2）=f′（2），得：-4=4a+12，
解得：a=-4；
（Ⅱ）x＜0時(shí)，f′（x）=2x＜0恒成立，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）遞減，
x≥0時(shí)，f′（x）=3x（x+$\frac{2a}{3}$），
-$\frac{2a}{3}$≤0即a≥0時(shí)，f（x）在[0，+∞）遞增，
-$\frac{2a}{3}$＞0即a＜0時(shí)，f（x）在[0，-$\frac{2a}{3}$）遞減，在（-$\frac{2a}{3}$，+∞）遞增，
綜上，a≥0時(shí)，f（x）在（-∞，0）遞減，在[0，+∞）遞增，
a＜0時(shí)，f（x）在（-∞，0），（0，-$\frac{2a}{3}$）遞減，在（-$\frac{2a}{3}$，+∞）遞增，
（Ⅲ）①若x＜0，則x²-$\frac{1}{27}$a³=0，
a＞0時(shí)，x=-$\frac{\sqrt{3}}{9}$a，a≤0時(shí)，方程無(wú)解，
②若x≥0，則x³+ax²+1=$\frac{1}{27}$a³，
a＞0時(shí)，f（x）在[0，+∞）遞增，f（x）_min=1，
由$\frac{1}{27}$a³≥1即a≥3時(shí)，方程恰有1個(gè)根，
0≤a＜3時(shí)，方程無(wú)解，
a＜0時(shí)，由（Ⅱ）得：f（x）_極小值=f（-$\frac{2a}{3}$）=$\frac{{4a}^{3}}{27}$+1，
若$\frac{{4a}^{3}}{27}$+1＜$\frac{1}{27}$a³⇒a＜-$\root{3}{9}$，方程恰有2個(gè)根，
若$\frac{{4a}^{3}}{27}$+1=$\frac{1}{27}$a³⇒a=-$\root{3}{9}$，方程恰有1個(gè)根，
$\frac{{4a}^{3}}{27}$+1＞$\frac{1}{27}$a³⇒a＞-$\root{3}{9}$，方程無(wú)解，
綜上，a＜-$\root{3}{9}$或a≥3時(shí)，方程恰有2個(gè)根，
a=-$\root{3}{9}$或0＜a＜3時(shí)，方程恰有1個(gè)根，
-$\root{3}{9}$＜a≤0時(shí)，方程無(wú)解．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．