Question

已知函數(shù)f（x）=

a

x

+lnx-1（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）在x∈[

1

e

，e]上的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）通過a=1，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，小于0，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）通過0＜a≤

1

e

，

1

e

＜a＜e，e≤a判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，然后求f（x）在x∈[

1

e

，e]上的最小值．

解答： （本題滿分（12分），第（1）問（5分），第（2）問7分）
解：（1）f′(x)=

x-1

x2

…（1分）
x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，則f（x）在 （0，1）上單調(diào)遞減，
x∈[1，+∞）時(shí)，f′（x）≥0，則f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增；…（5分）
（2）f′(x)=

x-a

x2

…（6分）
①當(dāng)0＜a≤

1

e

時(shí)，f'（x）≥0，f（x）在x∈[

1

e

，e]單調(diào)遞增，f(x)min=f(

1

e

)=ae-2，…（8分）
②當(dāng)

1

e

＜a＜e時(shí)，f（x）在[

1

e

，a]上遞減，（a，e]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（a）=lna，…（10分）
③當(dāng)e≤a時(shí)，f'（x）≤0，f（x）在x∈[

1

e

，e]單調(diào)遞減，f(x)min=f(e)=

a

e

．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最小值的方法，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想的應(yīng)用．