Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若對任意n∈N^*，都有S_n=3a_n-5n．
（1）求數(shù)列{a_n}的首項；
（2）若數(shù)列{a_n+λ}是等比數(shù)列，試求出實數(shù)λ的值，并寫出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）數(shù)列{b_n}滿足b_n=

9n+4

an+5

，是否存在m，對任意n∈N^*使得b_n≤b_m成立？如果存在，求出正整數(shù)m的值，如果不存在，說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應用

分析：（1）直接在數(shù)列遞推式中取n=1求得數(shù)列首項；
（2）在數(shù)列遞推式中取n=n-1得另一遞推式，作差后得到{a_n+5}是以

3

2

為公比的等比數(shù)列，即λ的值是5．然后由等比數(shù)列的通項公式求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入足b_n=

9n+4

an+5

，利用作商法得到當n≥3時，

bn

bn-1

＜1，當n=2時，

bn

bn-1

＞1，由此可得答案．

解答： 解：（1）∵S_n=3a_n-5n  ①，
∴S₁=a₁=3a₁-5，解得a1=

5

2

；
（2）由S_n=3a_n-5n，得S_n-1=3a_n-1-5（n-1），n≥2  ②．
①-②得，an=

3

2

an-1+

5

2

，
∴an+5=

3

2

(an-1+5)，
∴{a_n+5}是以

3

2

為公比的等比數(shù)列，即λ的值是5．
∴an=

15

2

•(

3

2

)n-1-5；
（3）∵b_n=

9n+4

an+5

，
∴bn=

9n+4

15 2 •( 3 2 )n-1

．
∴

bn

bn-1

=

9n+4 15 2 •( 3 2 )n-1

9n-5 15 2 •( 3 2 )n-2

=

18n+8

27n-15

．

18n+8

27n-15

-1=

18n+8-27n+15

27n-15

=

-9n+23

27n-15

．
∴當n≥3時，

bn

bn-1

＜1，當n=2時，

bn

bn-1

＞1，
∴當n=2時，b_n有最大值b2=

264

135

．
∴m=2．

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式，考查了利用作商法判斷數(shù)列的單調(diào)性，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，訓練了利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，是壓軸題．