Question

10．在平面直角坐標系中，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，點P的極坐標為（1，π），已知曲線C：ρ=2$\sqrt{2}asin（θ+\frac{π}{4}）（a＞0）$，直線l過點P，其參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=m+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)），直線l與曲線C分別交于M，N．
（1）寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；
（2）若|PM|+|PN|=5，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的互化方法，可得曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；
（2）若|PM|+|PN|=5，利用直線的參數(shù)方程，結(jié)合參數(shù)的幾何意義，即可求a的值．

解答 解：（1）ρ=2$\sqrt{2}asin（θ+\frac{π}{4}）（a＞0）$，得ρ²=2aρcosθ+2aρsinθ，
∴x²+y²=2ax+2ay，即（x-a）²+（y-a）²=2a²，
點P的極坐標為（1，π），直角坐標為（-1，0），
所以直線l的普通方程y=$\sqrt{3}$（x+1）；                                                          …（5分）
（2）將直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$代入x²+y²=2ax+2ay，
得t²-（a+$\sqrt{3}$a+1）t+1+2a=0，
因為|PM|+|PN|=5，所以a+$\sqrt{3}$a+1=5
解得a=2$\sqrt{3}$-2．                 …（10分）

點評 本題考查三種方程的互化，考查參數(shù)的幾何意義的運用，屬于中檔題．