Question

9．已知函數(shù)$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）+sin（2x-\frac{π}{6}）+cos2x+1$
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若$f（A）=3，B=\frac{π}{4}，a=\sqrt{3}$，求AB．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)f（A）=3時(shí)，求解A，正弦定理求解b，再有余弦可得AB即c的值（或者求解sinC，正弦定理求解c）

解答 解：函數(shù)$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）+sin（2x-\frac{π}{6}）+cos2x+1$，
化解可得：f（x）=2sin2xcos$\frac{π}{6}$+cos2x+1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}（k∈Z）$，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]（k∈Z）$，
（2）∵$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1\;，\;\;f（A）=3$，
∴$2sin（2A+\frac{π}{6}）+1=3$$sin（2A+\frac{π}{6}）=1$，
∵0＜A＜π，
∴$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{13π}{6}$，
∴$2A+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}，\;∴A=\frac{π}{6}$，
$sinC=sin[{π-（{A+B}）}]=sin（{A+B}）=sin（{\frac{π}{6}+\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}$，
在△ABC中，由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
即$\frac{{\sqrt{3}}}{{\frac{1}{2}}}=\frac{c}{{\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}}}$．
$c=\frac{{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{2}$，即$AB=c=\frac{{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，正余弦定理的運(yùn)用和計(jì)算能力，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．