Question

12．在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，CD中點(diǎn)，求證：以AF，CE，BF，DE的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

Answer 1

分析 取BC，AC，AD，BD的中點(diǎn)G，H，I，K，則AF，CE，BF，DE的中點(diǎn)也是HI，GH，GK，IK的中點(diǎn)，利用中位線定理即可證出結(jié)論．

解答 證明：設(shè)BC，AC，AD，BD的中點(diǎn)分別為G，H，I，K．AF，CE，BF，DE的中點(diǎn)分別為N，Q，P，M．連結(jié)GI．
∴GH是△ABC的中位線，KI是△ABD的中位線，HI是△ACD的中位線，GK是△BCD的中位線．
∵AF，CE，BF，DE的中點(diǎn)分別為N，Q，P，M．
∴Q，N，M，P分別是GH，HI，IK，GK的中點(diǎn)，
連結(jié)GI，則NQ$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$GI，PM$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$GI．
∴NQ$\stackrel{∥}{=}$MP．
∴四邊形PQNM是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定，屬于基礎(chǔ)題．