Question

7．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，且a_n+1+a_n-1-2=2a_n，記b_n=a_n+1-a_n
（1）求證：{b_n}為等差數(shù)列；
（2）求{a_n}的通項公式及數(shù)列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由條件可得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1+2，即為b_n=b_n-1+2，運用等差數(shù)列的定義，即可得證；
（2）運用數(shù)列恒等式可得a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1），結合等差數(shù)列的求和公式，計算即可得到{a_n}的通項公式；求得$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），運用數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡即可得到所求和．

解答 解：（1）證明：a_n+1+a_n-1-2=2a_n，可得
a_n+1-a_n=a_n-a_n-1+2，
即為b_n=b_n-1+2，
則{b_n}是首項為a₂-a₁=2，公差為2的等差數(shù)列；
（2）由b_n=2n=a_n+1-a_n，可得
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）
=1+2+4+…+2n-2=1+$\frac{1}{2}$（n-1）（2n）=n²-n+1；
又$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{2n•2（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
即有前n項和S_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{4（n+1）}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的判斷和通項公式及求和公式的運用，考查構造數(shù)列法和數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．