Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，有以下4個(gè)命題
①對(duì)任意的x₁、x₂∈（0，+∞），有f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

；
②對(duì)任意的x₁、x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，有f（x₁）-f（x₂）＜x₂-x₁；
③對(duì)任意的x₁、x₂∈（e，+∞），且x₁＜x₂有x₁f（x₂）＜x₂f（x₁）；
④對(duì)任意的0＜x₁＜x₂，總有x₀∈（x₁，x₂），使得f（x₀）≤

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．
其中正確的是

 

（填寫序號(hào)）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性性質(zhì)求解即可．

解答： 解：∵f（x）=lnx是（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴對(duì)于①由f（

x1+x2

2

）=ln

x1+x2

2

，

f(x1)+f(x2)

2

=ln

x1x2

，
∵

x1+x2

2

＞

x1x2

，
故f（

x1+x2

2

）＞

f(x1)+f(x2)

2

；
故①錯(cuò)誤．
對(duì)于②，∵x₁＜x₂則有f（x₁）＜f（x₂），
故由增函數(shù)的定義得f（x₁）-f（x₂）＜x₂-x₁ 故②正確，
對(duì)于③由不等式的性質(zhì)得x₁f（x₁）＜x₂f（x₂），故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④令1=x₁＜x₂=e²，x₀=e得，f（x₀）＞

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．
 故④錯(cuò)誤．
故答案為②．

點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的理解運(yùn)用能力以及判斷命題真假的方法，如特例法．