Question

3．已知F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左、右焦點(diǎn)，A為雙曲線右支上一點(diǎn)，且2$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{1}}$，2$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$，則|$\overrightarrow{OQ}$|-|$\overrightarrow{OP}$|=3．

Answer 1

分析 設(shè)A（m，n），m＞0，求得雙曲線的a，b，c，以及焦點(diǎn)的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，可得P，Q的坐標(biāo)和向量OQ，OP的模，由雙曲線的定義，即可得到所求值．

解答 解：設(shè)A（m，n），m＞0，
F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左、右焦點(diǎn)，
可得a=3，b=2，c=$\sqrt{9+4}$=$\sqrt{13}$，
則F₁（-$\sqrt{13}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{13}$，0），
且2$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{1}}$，2$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$，
可得2$\overrightarrow{OP}$=（m-$\sqrt{13}$，n），2$\overrightarrow{OQ}$=（m+$\sqrt{13}$，n），
則|$\overrightarrow{OQ}$|-|$\overrightarrow{OP}$|=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{（m+\sqrt{13}）^{2}+{n}^{2}}$-$\sqrt{（m-\sqrt{13}）^{2}+{n}^{2}}$）
表示A點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差的一半．
由雙曲線的定義可得|$\overrightarrow{OQ}$|-|$\overrightarrow{OP}$|=$\frac{1}{2}$•2a=a=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要是定義法的運(yùn)用，以及向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．