Question

【題目】如圖，橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)n：x＝4與x軸相交于點(diǎn)E，點(diǎn)M在直線(xiàn)n上，且滿(mǎn)足BM∥x軸．

(1)當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí)，求直線(xiàn)AM的方程；

(2)證明：直線(xiàn)AM經(jīng)過(guò)線(xiàn)段EF的中點(diǎn)．

Answer 1

【答案】(1) 直線(xiàn)AM的方程為y＝－x＋或y＝x－；(2)見(jiàn)證明

【解析】

（1）直線(xiàn)l與x軸垂直，可得直線(xiàn)l的方程，從而求解出點(diǎn)的坐標(biāo)，由BM∥x軸可得點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出直線(xiàn)AM的方程；

（2）要證直線(xiàn)AM經(jīng)過(guò)線(xiàn)段EF的中點(diǎn)，即證A，N，M三點(diǎn)共線(xiàn)，即證，設(shè)出兩點(diǎn)，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程，借助韋達(dá)定理從而得證.

解：(1)由c＝ ＝1，

∴F(1，0)，

∵直線(xiàn)l與x軸垂直，

∴x＝1，

由，

解得：

故當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為，

則點(diǎn)坐標(biāo)為，

此時(shí)直線(xiàn)AM的斜率為，

直線(xiàn)AM的方程為，

∴直線(xiàn)AM的方程為y＝－x＋；

當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為，

則點(diǎn)坐標(biāo)為，

此時(shí)直線(xiàn)AM的斜率為，

直線(xiàn)AM的方程為，

∴直線(xiàn)AM的方程為y＝x－；

故直線(xiàn)AM的方程為y＝－x＋或y＝x－；

(2)當(dāng)直線(xiàn)方程為時(shí)，

直線(xiàn)BM與x軸重合，不滿(mǎn)足題意；

故可設(shè)直線(xiàn)l的方程為x＝my＋1，

由，

得3(my＋1)2＋4y2＝12，

(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由韋達(dá)定理可得，

y1＋y2＝，y1y2＝

∵EF的中點(diǎn)N ，點(diǎn)M(4，y2)，

∴ ＝

×y2－y1＝my1y2－ (y1＋y2)＝－×＝0.

所以，

故A，N，M三點(diǎn)共線(xiàn)，

所以直線(xiàn)AM經(jīng)過(guò)線(xiàn)段EF的中點(diǎn).