Question

【題目】正四棱錐（底面為正方形，頂點(diǎn)在底面上的射影是底面的中心）S﹣ABCD的底面邊長為2，高為2，E為邊BC的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在表面上運(yùn)動，并且總保持PE⊥AC，則動點(diǎn)P的軌跡的周長為（ ）
A.
B.
C.3
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接SO，則SO⊥平面ABCD
由AC平面ABCD，故SO⊥AC
取SC中點(diǎn)F和CD中點(diǎn)G，連接GE交AC于H
則H為OC的中點(diǎn)，故FH∥SO，
則FH⊥AC
又由GE∥BD，BD⊥AC得GE⊥AC
∵GE∩FH=H，GE，F(xiàn)H平面FGE
∴AC⊥平面FGE
故當(dāng)P∈平面FGE時，總有PE⊥AC，
故動點(diǎn)P的軌跡即為△FGE的周長
又∵正四棱錐S﹣ABCD的底面邊長為2，高為2，
故SO=2，BD=2
則GE= ，SB=
則FE=FG=
故△FGE的周長為
故選D

由動點(diǎn)P在正四棱錐的表面上運(yùn)動，并且總保持PE⊥AC，故P點(diǎn)落在過E點(diǎn)且于AC垂直的平面上，根據(jù)線面平行的判定定理，找到滿足條件的P點(diǎn)軌跡，解三角形可得答案．