Question

19．某校在2015年11月份的高三期中考試后，隨機(jī)地抽取了50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績并進(jìn)行了分析，結(jié)果這50名同學(xué)的成績?nèi)�部介�?0分到140分之間．現(xiàn)將結(jié)果按如下方式分為6組，第一組[80，90），第二組[90，100），…，第六組[130，140]，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（I）求a的值；
（II）這50名學(xué)生中成績?cè)?20分以上的同學(xué)中任意抽取3人，該3人在130分（含130分）以上的人數(shù)記為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)頻率分布直方圖頻率和為1的性質(zhì)，能求出成績?cè)赱120，130）的頻率．
（II）根據(jù)頻率分布直方圖得X的可能取值為0、1、2、3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答 解：（I）根據(jù)頻率分布直方圖，得：
成績?cè)赱120，130）的頻率為：
1-（0.01×10+0.024×10+0.03×10+0.016×10+0.008×10）
=1-0.88=0.12…（4分）
（II）根據(jù)頻率分布直方圖得，這50人中成績?cè)?30分以上（包括130分）的有0.08×50=4人，
在[120，140]的學(xué)生共有0.12×50+0.08×50=10人…（5分）
所以X的可能取值為0、1、2、3…（6分）
${P}（{{X}=0}）=\frac{C_6^3}{{C_{10}^3}}=\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$，
${P}（{{X}=1}）=\frac{C_6^2•C_4^1}{{C_{10}^3}}=\frac{60}{120}=\frac{1}{2}$，
${P}（{{X}=2}）=\frac{C_6^1•C_4^2}{{C_{10}^3}}=\frac{36}{120}=\frac{3}{10}$，
${P}（{{X}=3}）=\frac{C_4^3}{{C_{10}^3}}=\frac{4}{120}=\frac{1}{30}$…（10分）
所以X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$

數(shù)學(xué)期望值為${E}{X}=0×\frac{1}{6}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{3}{10}+3×\frac{1}{30}=1.2$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分在由直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型．