Question

9．已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₂+a₃+a₄=15，a₄+a₆=18，數(shù)列{b_n}的前n項和為S，且滿足S_n=2b_n-2．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）數(shù)列{c_n}滿足c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$，求數(shù)列{c_n}的n前項和．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項公式可得a_n，利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項公式可得b_n．
（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₂+a₃+a₄=15，a₄+a₆=18，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+6d=15}\\{2{a}_{1}+8d=18}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
由S_n=2b_n-2，
當(dāng)n=1時，b₁=2b₁-2，解得b₁=2．
當(dāng)n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=2b_n-2-（2b_n-1-2），
化為b_n=2b_n-1，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，公比為2，首項為2．
∴b_n=2ⁿ．
（2）c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
∴數(shù)列{c_n}的n前項和T_n=$\frac{1}{2}+\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$．
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+2（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}）$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{{2}^{n+1}}$．
∴T_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．