Question

若函數(shù)f（x）對定義域中任意x，均滿足f（x）+f（2a-x）=2b，則稱函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（a，b）對稱，
（1）已知函數(shù)g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的圖象關于點（0，1）對稱，且當x∈（0，+∞）時，g（x）=x²+ax+1，求函數(shù)g（x）在x∈（-∞，0）上的解析式；
（2）已知函數(shù)f（x）=

x2+mx+m

x

的圖象關于點（0，1）對稱，在（1）的條件下，若對實數(shù)x＜0及t＞0，恒有g（x）＜f（t），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）利用函數(shù)g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的圖象關于點（0，1）對稱，可得g（x）+g（-x）=2，根據(jù)x∈（0，+∞）時的解析式，即可求得結論；
（2）對任意實數(shù)x∈（-∞，0），恒有g（x）＜f（t）成立，等價于g（x）_max＜f（t）_min，由此可求實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的圖象關于點（0，1）對稱，
∴g（x）+g（-x）=2，
∵當x∈（0，+∞）時，g（x）=x²+ax+1，
∴當x＜0時，g（x）=2-g（-x）=-x²+ax+1，
即g（x）=-x²+ax+1，x＜0；
（2）由題設，∵函數(shù)f（x）=

x2+mx+m

x

的圖象關于點（0，1）對稱，
∴f（x）+f（-x）=2，
∴

x2+mx+m

x

+

x2-mx+m

-x

=2
∴m=1，
∵f（t）=

t2+tm+m

t

=t+

m

t

+m=t+

1

t

+1≥2

t• 1 t

+1=3，其最小值為f（1）=3，
g（x）=-x²+ax+1=-（x-

a

2

）²+

a2

4

+1，
①當

a

2

＜0，即a＜0時，g（x）_max=

a2

4

+1＜3，即a²＜8，解得-2

2

＜a＜0，
②當

a

2

≥0，即a≥0時，g（x）_max＜1＜3，
∴a∈[0，+∞），
由①、②得a＞-2

2

，
故實數(shù)a的取值范圍是a＞-2

2

．

點評：本題主要考查函數(shù)的對稱性，考查函數(shù)的解析式，考查恒成立問題，正確求出函數(shù)的最值是關鍵．綜合性較強，運算量較大．