三個頂點均在橢圓上的三角形稱為橢圓的內(nèi)接三角形.已知點A是橢圓的一個短軸端點,如果以A為直角頂點的橢圓內(nèi)接等腰直角三角形有且僅有三個,則橢圓的離心率的取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】分析:設(shè)橢圓的方程為,直線AB方程為y=kx+b(k>0),兩方程聯(lián)解得到B的橫坐標(biāo)為-,從而得|AB|=,同理得到|AC|=.根據(jù)|AB|=|AC|建立關(guān)于k、a、b的方程,化簡整理得到(k-1)[b2k2+(b2-a2)k+b2]=0,結(jié)合題意得該方程有三個不相等的實數(shù)根,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式建立關(guān)于a、b的不等式,解之即得c2>2b2,由此結(jié)合a2=b2+c2即可解出該橢圓的離心率的取值范圍.
解答:解:設(shè)橢圓的方程為(a>b>0),
根據(jù)BA、AC互相垂直,設(shè)直線AB方程為y=kx+b(k>0),AC方程為y=-x+b
,消去y并化簡得(a2k2+b2)x2+2ka2bx=0
解之得x1=0,x2=-,可得B的橫坐標(biāo)為-,
∴|AB|=|x1-x2|=
同理可得,|AC|=
∵△ABC是以A為直角頂點的橢圓內(nèi)接等腰直角三角形,
∴|AB|=|AC|即=
化簡整理,得b2k3-a2k2+a2k-b2=0,分解因式得:(k-1)[b2k2+(b2-a2)k+b2]=0…(*)
方程(*)的一個解是k1=1,另兩個解是方程b2k2+(b2-a2)k+b2=0的根
∵k1=1不是方程b2k2+(b2-a2)k+b2=0的根,
∴當(dāng)方程b2k2+(b2-a2)k+b2=0有兩個不相等的正數(shù)根時,方程(*)有3個不相等的實數(shù)根
相應(yīng)地,以A為直角頂點的橢圓內(nèi)接等腰直角三角形也有三個.
因此,△=(b2-a22-2b4>0且,化簡得c2>2b2
即3c2>2a2,兩邊都除以3a2,
∴離心率e滿足e2,解之得e>,結(jié)合橢圓的離心率e<1,得<e<1
故選:D
點評:本題給出以橢圓上頂點為直角頂點的內(nèi)接等腰直角三角形存在3個,求橢圓的離心率取值范圍,著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)和直線與橢圓位置關(guān)系等知識點,屬于中檔題.
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  1. A.
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  2. B.
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  3. C.
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  4. D.
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