Question

已知拋物線C：x²=

1

a

y（a≠0）的準線方程為y=-1．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)F是拋物線C的焦點，直線l：y=kx+b（k≠0）與拋物線C交于A，B兩點，記直線AF，BF的斜率之和為m．若對任意的實數(shù)k（k≠0），直線l恒過定點，求實數(shù)m的值，并求出該定點的坐標．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用拋物線y=ax²（a≠0）的準線方程，即可求得拋物線C的方程；
（Ⅱ）直線方程與拋物線方程聯(lián)立得x²-4kx-4b=0．利用韋達定理及直線AF，BF的斜率之和為m，可得直線方程，進而令xk²-（mx+y+1）k+my=0對任意的k（k≠0）恒成立，即可求得直線l過定點．

解答： 解：（Ⅰ）拋物線C：x²=

1

a

y（a≠0）的準線方程為：y=-

1

4a

．  
∵拋物線C：x²=

1

a

y（a≠0）的準線方程為y=-1                      …（3分）
∴-

1

4a

=-1，解得a=

1

4

．
∴拋物線C的方程是x²=4y．                                    …（6分）
（Ⅱ）F（0，1），設(shè)A（x₁，

x12

4

），B（x₂，

x22

4

），
由直線l：y=kx+b（k≠0）與拋物線C得x²-4kx-4b=0．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，△=16k²+16b＞0．                  …（8分）
∴m=

x12 4 -1

x1

+

x22 4 -1

x2

=

k(b+1)

b

．                               …（10分）
∴b=

k

m-k

．∴直線l：y=kx+

k

m-k

．
令xk²-（mx+y+1）k+my=0對任意的k（k≠0）恒成立．             …（12分）
則

x=0 mx+y+1=0 my=0

，解得x=0，y=-1，m=0．
所以，m=0，直線l過定點（0，-1）．                           …（15分）

點評：本題考查拋物線的標準方程與性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線恒過定點，解題的關(guān)鍵是求出直線方程，利用方程對任意的k（k≠0）恒成立，建立方程組．