【題目】對(duì)于由有限個(gè)自然數(shù)組成的集合A,定義集合S(A)={a+b|a∈A,b∈A},記集合S(A)的元素個(gè)數(shù)為d(S(A)).定義變換T,變換T將集合A變換為集合T(A)=A∪S(A).
(1)若A={0,1,2},求S(A),T(A);
(2)若集合A有n個(gè)元素,證明:“d(S(A))=2n-1”的充要條件是“集合A中的所有元素能組成公差不為0的等差數(shù)列”;
(3)若A{1,2,3,4,5,6,7,8}且{1,2,3,…,25,26}T(T(A)),求元素個(gè)數(shù)最少的集合A.
【答案】(1);(2)見解析;(3)
【解析】
(1)根據(jù)定義直接進(jìn)行計(jì)算即可
(2)根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行證明
(3)首先證明:1∈A,然后根據(jù)條件分別判斷A中元素情況即可得到結(jié)論.
(1)若集合A={0,1,2},則S(A)=T(A)={0,1,2,3,4}.
(2)令.不妨設(shè).
充分性:設(shè)是公差為的等差數(shù)列.
則
且.所以共有2n-1個(gè)不同的值.即d(S(A))=2n-1.
必要性:若d(S(A))=2n-1.
因?yàn)?/span>.
所以S(A)中有2n-1個(gè)不同的元素:
任意(1≤i,j≤n) 的值都與上述某一項(xiàng)相等.
又,且.
所以,所以是等差數(shù)列,且公差不為0.
(3)首先證明:1∈A.假設(shè)1A,A中的元素均大于1,從而1S(A),
因此1T(A),1S(T(A)),故1T(T(A)),與{1,2,3,…,25,26}T(T(A))矛盾,因此1∈A.
設(shè)A的元素個(gè)數(shù)為n,S(A)的元素個(gè)數(shù)至多為C+n,從而T(A)的元素個(gè)數(shù)至多為C+n+n=.
若n=2,則T(A)元素個(gè)數(shù)至多為5,從而T(T(A))的元素個(gè)數(shù)至多為=20,
而T(T(A))中元素至少為26,因此n≥3.
假設(shè)A有三個(gè)元素,設(shè),且,
則1,2,,,
從而1,2,3,4∈T(T(A)).若,T(T(A))中比4大的最小數(shù)為,則5T(T(A)),與題意矛盾,故≤5.
集合T(T(A)).中最大數(shù)為,由于26∈T(T(A)),故≥26,從而≥7,
(i)若A={1,a2,7},且≤5.此時(shí)1,2,,+1,7,8,2,7+,14∈T(A),則有8+14=22,2×14=28∈T(T(A)),在22與28之間可能的數(shù)為14+2,21+.
此時(shí)23,24,25,26不能全在T(T(A)).中,不滿足題意.
(ii)若A={1,,8},且≤5.此時(shí)1,2,,+1,8,9,2,8+,16∈T(A),則有16+9=25∈T(T(A)),
若26∈T(T(A)),則16+2=26或16+(8+)=26,
解得=5或=2.
當(dāng)A={1,2,8}時(shí),15,21,23T(T(A)).不滿足題意.
當(dāng)A={1,2,8}時(shí),
T(T(A))={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,29,32},滿足題意.
故元素個(gè)數(shù)最少的集合A為{1,5,8}
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一項(xiàng)是,接下來的兩項(xiàng)是,,再接下來的三項(xiàng)是,,,依此類推那么該數(shù)列的前50項(xiàng)和為
A. 1044 B. 1024 C. 1045 D. 1025
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),
(1)已知為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),求函數(shù)在處的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),方程有唯一實(shí)數(shù)根,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,平面平面,△為等腰直角三角形,,四邊形為直角梯形,,,,,
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場(chǎng)對(duì)職工開展了安全知識(shí)競(jìng)賽的活動(dòng),將競(jìng)賽成績(jī)按照,,… ,分成組,得到下面頻率分布直方圖.根據(jù)頻率分布直方圖.下列說法正確的是( )
①根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該商場(chǎng)的職工的安全知識(shí)競(jìng)賽的成績(jī)的眾數(shù)估計(jì)值為;
②根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該商場(chǎng)的職工的安全知識(shí)競(jìng)賽的成績(jī)的中位數(shù)約為;
③若該商場(chǎng)有名職工,考試成績(jī)?cè)?/span>分以下的被解雇,則解雇的職工有人;
④若該商場(chǎng)有名職工,商場(chǎng)規(guī)定只有安全知識(shí)競(jìng)賽超過分(包括分)的人員才能成為安全科成員,則安全科成員有人.
A.①③B.②③C.②④D.①④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了解高一新生的體質(zhì)健康狀況,對(duì)學(xué)生的體質(zhì)進(jìn)行了測(cè)試. 現(xiàn)從男、女生中各隨機(jī)抽取人,把他們的測(cè)試數(shù)據(jù),按照《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》整理如下表. 規(guī)定:數(shù)據(jù)≥,體質(zhì)健康為合格.
等級(jí) | 數(shù)據(jù)范圍 | 男生人數(shù) | 男生平均分 | 女生人數(shù) | 女生平均分 |
優(yōu)秀 |
| ||||
良好 |
| ||||
及格 |
| ||||
不及格 | 以下 | ||||
總計(jì) | -- |
(I)從樣本中隨機(jī)選取一名學(xué)生,求這名學(xué)生體質(zhì)健康合格的概率;
(II)從男生樣本和女生樣本中各隨機(jī)選取一人,求恰有一人的體質(zhì)健康等級(jí)是優(yōu)秀的概率;
(III)表中優(yōu)秀、良好、及格、不及格四個(gè)等級(jí)的男生、女生平均分都接近(二者之差的絕對(duì)值不大于),但男生的總平均分卻明顯高于女生的總平均分.研究發(fā)現(xiàn),若去掉四個(gè)等級(jí)中一個(gè)等級(jí)的數(shù)據(jù),則男生、女生的總平均分也接近,請(qǐng)寫出去掉的這個(gè)等級(jí).(只需寫出結(jié)論)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,是某海灣旅游區(qū)的一角,其中,為了營造更加優(yōu)美的旅游環(huán)境,旅游區(qū)管委會(huì)決定在直線海岸和上分別修建觀光長(zhǎng)廊和AC,其中是寬長(zhǎng)廊,造價(jià)是元/米,是窄長(zhǎng)廊,造價(jià)是元/米,兩段長(zhǎng)廊的總造價(jià)為120萬元,同時(shí)在線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處建一個(gè)觀光平臺(tái),并建水上直線通道(平臺(tái)大小忽略不計(jì)),水上通道的造價(jià)是元/米.
(1) 若規(guī)劃在三角形區(qū)域內(nèi)開發(fā)水上游樂項(xiàng)目,要求的面積最大,那么和的長(zhǎng)度分別為多少米?
(2) 在(1)的條件下,建直線通道還需要多少錢?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù),若是的唯一極值點(diǎn),求.
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【題目】某公司為了預(yù)測(cè)下月產(chǎn)品銷售情況,找出了近7個(gè)月的產(chǎn)品銷售量(單位:萬件)的統(tǒng)計(jì)表:
月份代碼 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
銷售量(萬件) |
但其中數(shù)據(jù)污損不清,經(jīng)查證,,.
(1)請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說明銷售量與月份代碼有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系;
(2)求關(guān)于的回歸方程(系數(shù)精確到0.01);
(3)公司經(jīng)營期間的廣告宣傳費(fèi)(單位:萬元)(),每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為10元,預(yù)測(cè)第8個(gè)月的毛利潤能否突破15萬元,請(qǐng)說明理由.(毛利潤等于銷售金額減去廣告宣傳費(fèi))
參考公式及數(shù)據(jù):,相關(guān)系數(shù),當(dāng)時(shí)認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為,.
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