Question

已知

a

=（cosα，sinα），

b

-（cosβ，sinβ），|

a

-

b

|=

2 5

5

，其中0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，且sinβ=-

5

13

．
（1）求sinα的值；
（2）求f（x）=

1

2

cos2x-

130

33

sinαcosx（x∈R）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,函數(shù)的值域,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由|

a

-

b

|=

2 5

5

，求得cos（α-β）=

3

5

．再結(jié)合α、β的范圍求得sin（α-β）=

4

5

．再根據(jù)sinα=sin[（α-β）+β]，利用兩角和差的正弦公式計(jì)算求得結(jié)果．
（2）由題意可得f（x）=（osx-1）²-

3

2

，結(jié)合余弦函數(shù)的值域、二次函數(shù)的性質(zhì)求得f（x）的值域．

解答： 解：（1）由題意可得|

a

-

b

|=

(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2

=

2-2cos(α-β)

=

2 5

5

，∴cos（α-β）=

3

5

．
再結(jié)合0＜α＜

π

2

，-

π

2

＜β＜0，可得α-β∈（0，π），∴α-β∈（0，

π

2

），∴sin（α-β）=

4

5

．
再根據(jù)sinβ=-

5

13

，可得cosβ=

12

13

．
∴sinα=sin[（α-β）+β]=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ=

4

5

×

12

13

+

3

5

×(-

5

13

)=

33

65

．
（2）f（x）=

1

2

cos2x-

130

33

sinαcosx=

1

2

cos2x-

130

33

•

33

65

cosx=

1

2

cos2x-2cosx=（osx-1）²-

3

2

，
故當(dāng)cosx=1時(shí)，f（x）取得最小值為-

3

2

，當(dāng)cosx=-1時(shí)，f（x）取得最大值為

5

2

，故f（x）的值域?yàn)閇-

3

2

，

5

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求向量的模，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差的三角公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．