Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）左、右焦點分別為F₁、F₂，點P在雙曲線右支上，且|PF₁|=3|PF₂|．
（1）求

b

a

的最大值，并寫出此時雙曲線的漸進線方程；
（2）當點P的坐標為（

4 10

5

，

3 10

5

）時，

PF1

•

PF2

=0，求雙曲線方程．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì),雙曲線的標準方程

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合|PF₁|=3|PF₂|，解得|PF₁|=3a，|PF₂|=a．由圓錐曲線統(tǒng)一定義，求得x₀=

2a2

c

，根據(jù)P在雙曲線的右支得

2a2

c

≥a，再由a，b，c的關(guān)系可得a，b的關(guān)系，不難算出因此的漸近線方程；
（2）將

PF1

•

PF2

=0轉(zhuǎn)化為關(guān)于x₀、y₀和c的表達式，化簡整理得c²=x₀²+y₀²=10，結(jié)合|PF₂|=a和x₀=

2a2

c

，聯(lián)解可得a²=4，從而b²=c²-a²=6，即可得到雙曲線方程，由此易得P的坐標．

解答： 解：（1）根據(jù)雙曲線的定義，得|PF₁|-|PF₂|=2a，
∵|PF₁|=3|PF₂|，∴|PF₁|=3a，|PF₂|=a，
設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），P（x₀，y₀），
雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左準線方程為：x=-

a2

c

，
由圓錐曲線統(tǒng)一定義，得

|PF1|

x0+ a2 c

=e，∴3a=ex₀+a，得x₀=

2a2

c

，
∵P在雙曲線的右支，∴x₀≥a即

2a2

c

≥a，解得c≤2a，即c²≤4a²，
即a²+b²≤4a²，即b≤

3

a，

b

a

≤

3

．
∴

b

a

的最大值為

3

，此時雙曲線的漸近線方程為y=±

3

x；
（2）

PF1

=（-c-x₀，-y₀），

PF2

=（c-x₀，-y₀），
∵

PF1

•

PF2

=0，
∴-（c²-x₀²）+y₀²=0，可得c²=x₀²+y₀²=10…（*）
∵|PF₂|=

(c-x0)2+y02

=a，
∴（c-x₀）²+y₀²=a²，
代入（*）式和x₀=

2a2

c

，可得a²=20-2cx₀=20-4a²，解之得a²=4，
∴b²=c²-a²=6，得雙曲線方程為

x2

4

-

y2

6

=1，
此時x₀=

2a2

c

=

4 10

5

，y₀=±

3 10

5

，
所以當點P的坐標為（

4 10

5

，

3 10

5

）時，

PF1

•

PF2

=0，此時的雙曲線方程為

x2

4

-

y2

6

=1．

點評：本題給出雙曲線右支上點P滿足|PF₁|=3|PF₂|，求

b

a

的最大值，并求PF₁⊥PF₂時的雙曲線方程，著重考查了雙曲線的標準方程、簡單幾何性質(zhì)和向量數(shù)量積的坐標運算等知識，屬于中檔題．