Question

已知函數f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]．
（1）求實數a的范圍，使y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調函數．
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意，得函數y=f（x）的單調區(qū)間是（-∞，-a]，[-a，+∞），
由于y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調函數故-a≤-5或-a≥5，即可得到實數a的取值范圍；
（2）分類討論，得到函數在[-5，5]上的增減性，繼而得到函數在[-5，5]上的最小值．

解答：解：（1）因為f（x）是開口向上的二次函數，且對稱軸為x=-a，
為了使f（x）在[-5，5]上是單調函數，故-a≤-5或-a≥5，即a≥5或a≤-5．
（2）①當-a≤-5，即a≥5時，f（x）在[-5，5]上是增函數，
所以f_min（x）=f（-5）=27-10a
②當-5＜-a≤5，即-5≤a＜5時，f（x）在[-5，-a]上是減函數，在[-a，5]上是增函數，
所以 fmin(x)=f(-a)=2-a2
③當-a＞5，即a＜-5時，f（x）在[-5，5]上是減函數，
所以f_min（x）=f（5）=27+10a
綜上可得fmin(x)=

27-10a，(a≥5) 2-a2，(-5≤a＜5) 27+10a，(a＜-5)

點評：本題給出含有參數的二次函數，討論函數的單調性并求函數在閉區(qū)間上的最值，著重考查了二次函數的圖象與性質和函數的單調性等知識，屬于基礎題．