等腰Rt△ACB,AB=2,∠ACB=
π
2
.以直線AC為軸旋轉一周得到一個圓錐,D為圓錐底面一點,BD⊥CD,CH⊥AD于點H,M為AB中點,則當三棱錐C-HAM的體積最大時,CD的長為
 
考點:棱柱、棱錐、棱臺的體積
專題:綜合題,空間位置關系與距離
分析:根據(jù)題意,結合線面垂直的判定與性質,證出AB⊥平面CMH,從而AM是三棱錐C-HAM的高,得VC-HAM=
1
3
S△CMH×AM,因此當S△CMH達到最大值時,三棱錐C-HAM的體積最大.設∠BCD=θ,利用Rt△ACD中等積轉換和Rt△ABD∽Rt△AHM,算出CH、HM關于θ的式子,從而得到S△CMH=
1
2
CH•HM=
2
tanθ
4+2tan2θ
,最后根據(jù)基本不等式得當tanθ=
2
時,S△CMH達到最大值,根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系算出cosθ=
3
3
,從而得出CD的長為
6
3
,即為當三棱錐C-HAM的體積最大時CD的長.
解答: 解:根據(jù)題意,得
∵AC⊥平面BCD,BD?平面BCD,∴AC⊥BD,
∵CD⊥BD,AC∩CD=C,∴BD⊥平面ACD,可得BD⊥CH,
∵CH⊥AD,AD∩BD=D,∴CH⊥平面ABD,可得CH⊥AB,
∵CM⊥AB,CH∩CM=C,∴AB⊥平面CMH,
因此,三棱錐C-HAM的體積V=
1
3
S△CMH×AM=
1
3
S△CMH
由此可得,當S△CMH達到最大值時,三棱錐C-HAM的體積最大
設∠BCD=θ,則Rt△BCD中,BC=
2
2
AB=
2

可得CD=
2
cosθ,BD=
2
sinθ
Rt△ACD中,根據(jù)等積轉換得CH=
AC×CD
AD
=
2cosθ
2+2cos2θ

Rt△ABD∽Rt△AHM,得
HM
BD
=
AB
AD
,
∴HM=
AB×BD
AD
=2×
2
sinθ
2+2cos2θ

因此,S△CMH=
1
2
CH•HM=2×
2
sinθcosθ
2+2cos2θ
=2×
2
tanθ
4+2tan2θ

∵4+2tan2θ≥4
2
tanθ,
∴S△CMH=2×
2
tanθ
4+2tan2θ
≤2×
2
tanθ
4
2
tanθ
=
1
2

當且僅當tanθ=
2
時,S△CMH達到最大值,三棱錐C-HAM的體積同時達到最大值.
∵tanθ=
2
>0,可得sinθ=
2
cosθ>0
∴結合sin2θ+cos2θ=1,解出cos2θ=
1
3
,可得cosθ=
3
3
(舍負)
由此可得CD=
2
cosθ=
6
3

即當三棱錐C-HAM的體積最大時,CD的長為
6
3

故答案為:
6
3
點評:本題給出旋轉體中,求三棱錐的體積最大值時CD的長,著重考查了線面垂直的判定與性質、基本不等式求最值、相似三角形中比例線段的計算和同角三角函數(shù)基本關系等知識,屬于中檔題.
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4
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3
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1
3
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2
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3
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