(本小題滿(mǎn)分13分)
如圖,圓柱OO1內(nèi)有一個(gè)三棱柱ABC-A1B1C1,
三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形,且AB是圓O的直徑。
(Ⅰ)證明:平面A1ACC1⊥平面B1BCC1;
(Ⅱ)設(shè)AB=AA1。在圓柱OO1內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn),記該點(diǎn)取自于
三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)的概率為P。
(i) 當(dāng)點(diǎn)C在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí),求P的最大值;
記平面A1ACC1與平面B1OC所成的角為(0°< 90°)。當(dāng)P取最大值時(shí),求cos的值。
本小題主要考查直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系,以及幾何體的體積幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí);考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力;考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想。滿(mǎn)分13分。
解法一 :
(I)平面,平面,
是圓O的直徑,
又, 平面
而平面,
所以平面平面。
(II)(i)設(shè)圓柱的底面半徑為r,則
故三棱柱的體積
又
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。
從而,
而圓柱的體積,
故,當(dāng)且僅當(dāng)
,即時(shí)等號(hào)成立。
所以,的最大值等于
(ii)由(i)可知,取最大值時(shí),
于是,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),
則,,
平面,是平面的一個(gè)法向量
設(shè)平面的法向量,
取,得平面的一個(gè)法向量為
,
解法二:
(I)同解法一
(II)(i)設(shè)圓柱的底面半徑為r,則,
故三棱柱的體積
設(shè),
則,,
由于,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立,故
而圓柱的體積,
故,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立。
所以,的最大值等于
(ii)同解法一
解法三:
(I)同解法一
(II)(i)設(shè)圓柱的底面半徑,則,故圓柱的體積
解析
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,PD⊥底面ABCD,
E、F分別為棱BC、AD的中點(diǎn).
(Ⅰ)若PD=1,求異面直線(xiàn)PB和DE所成角的余弦值.
(Ⅱ)若二面角P-BF-C的余弦值為,求四棱錐P-ABCD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本題滿(mǎn)分12分)作圖(不要求寫(xiě)出作法,請(qǐng)保留作圖痕跡)
(1) 畫(huà)出下圖幾何體的三視圖(尺寸自定);
(2) 畫(huà)出一個(gè)底面直徑為4cm,高為2cm的圓錐的直觀圖
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿(mǎn)分12分)如圖,在正三棱柱中,分別是的中點(diǎn),.
(Ⅰ)在棱上是否存在點(diǎn)使?如果存在,試確定它的位置;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(Ⅱ)求截面與底面所成銳二面角的正切值;
(Ⅲ)求點(diǎn)到截面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
(本小題滿(mǎn)分12分)
在四棱錐中,底面是一直角梯形,,,底面.
(1)求三棱錐的體積;
(2)在上是否存在一點(diǎn),使得平面,若存在,求出的值;若不存在,試說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:單選題
已知兩條不同的直線(xiàn)m、n,兩個(gè)不同的平面a、β,則下列命題中的真命題是( )
A.若m⊥a,n⊥β,a⊥β,則m⊥n | B.若m⊥a,n∥β,a⊥β,則m⊥n |
C.若m∥a,n∥β,a∥β,則m∥n | D.若m∥a,n⊥β,a⊥β,則m∥n |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:單選題
設(shè)是兩條不同的直線(xiàn),是兩個(gè)不同的平面,則能得出的是( )
A.,, | B.,, |
C.,, | D.,, |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:單選題
如圖,在正方體中,點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)在線(xiàn)段上,直線(xiàn)與平面所成的角為,則的取值范圍是( )
A. | B. | C. | D. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示,其中M、N分別是AB、AC的中點(diǎn),G是DF上的一動(dòng)點(diǎn).
(1)求證:
(2)當(dāng)FG=GD時(shí),在棱AD上確定一點(diǎn)P,使得GP//平面FMC,并給出證明.
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